Volumen von Rotationskörpern

1. Volumen von Rotationskörpern

Dieses Video basiert auf dem Wissen des Beitrags "Volumenberechnung eines Zylinders durch Rotation".
In dem wurde das Rotationsvolumen eines Zylinders berechnet, nun möchten wir aber eine allgemeine Formel zur Volumenberechnung finden, ganz unabhängig von der Art des Rotationskörpers.
Um mit unserem vorhandenen Wissen zu arbeiten, teilen wir den Bereich in den Grenzen x0 und xn in verschiedene Zylinder ein.
Nach dem Prinzip der Unter- und Obersumme erhalten wir einmal die roten Zylinder, die einen Teil des Rotationskörpers nicht mit einbeziehen, und einmal die grünen Zylindern, die einen etwas zu großen Körper beschreiben.
Die Breite der Zylinder beschreiben wir als delta x= (xn-x0)/n. Diese Formel entsteht, da wir die Gesamtstrecke des Bereichs durch die Anzahl der Zylinder (n) teilen, sodass alle Zylinder gleich breit sind.
Wieder orientieren wir uns an der Volumenberechnungsformel eines Zylinders (V=V=Π*r^2*h). Der Radius r war bisher der y-Achsenabschnitt und ist deshalb auch jetzt f(x). Auch die Höhe können wir wieder einfach von unserem Graph ablesen: sie ist die Breite des Zylinders, also delta x.

Zuerst berechnen wir das Volumen, das durch die roten Zylinder entsteht. Dazu addieren wir die einzelnen Volumina der roten Zylinder. Der erste zu beachtende Wert ist dabei f(x0). Achtung, f(xn) wird nicht mehr mit einbezogen, da dieser Funktionswert nicht innerhalb der roten, sondern nur innerhalb der grünen Zylinder liegt!
Wir klammern Pi aus und erhalten als Formel: V=Π(((f(x0))^2*delta x+...+(f(xn-1))^2*delta x).

Umgekehrt vehält es sich bei den grünen Zylindern. Der Wert für f(x0) wird bei der Volumenberechnung nicht mit einbezogen, dafür endet diese bei f(xn).

Einen exakten Wert für die Volumenberechnung unserers Rotationskörpers erhalten wir so aber noch nicht. Dies können wir erreichen, wenn wir die Anzahl der Zylinder ins Unendliche wachsen lassen. Für das rote und grüne Volumen gilt also: n strebt gegen Unendlich.
So erhalten wir dann zum Schluss unsere endgültige Formen, die ihr im Video sehen könnt. Durch die durchgeführte Annährung können wir diese auch einfach erklären. Während das f(x) weiterhin quadriert wird und bestehen bleibt, wird das delta x durch dx ersetzt. Weiterhin berechnen wir also das Volumen vieler kleiner Zylinder, deren Anzahl gegen Unendlich strebt, durch Π*r^2*h.
Nun haben wir noch das Integralzeichen in den Grenzen a und b, das wie ein langgezogenes S aussieht. Tatsächlich zeigt es an, dass die Werte der Volumina der kleinen unendlichen Zylinder summiert werden.
Die Grenzen a und b bleiben das Intervall des Rotationskörpers.

Zuletzt stellt sich uns noch die Frage, wofür man so etwas eigentlich braucht! Rotationskörper könnt ihr auch im Alltag berechnen; zum Beispiel, wenn ihr herausfinden möchtet, wie viel Sekt in euer Glas passt. Dazu stellt ihr das Sektglas als Wurzelfunktion von x da und lasst diese rotieren. Schaut euch dies einmal im Taschenrechner an. Nun messt ihr, wie hoch euer Sektglas ist und nehmt diesen Wert als Intervall. Ist es z.B. 9 cm hoch, sind eure Grenzen a=0 und b=9. Jetzt müsst ihr nur noch die Formel anwenden. Wie das geht, seht ihr in dem Beitrag zur Flächenberechnung unter Graphen.