1. Wendestellen
Wendestellen
Dieses Video behandelt das Thema Wendestellen. Es basiert auf dem Beitrag zu Links- und Rechtskurven, da auf das dort erklärte Wissen zurückgegriffen wird.
So können wir Wendestellen zum Beispiel optisch als den Punkt erkennen, an dem eine Links- in eine Rechtskurve übergeht.
Leiten wir nun das notwendige Kriterium für Wendestellen her. Von den Links- und Rechtskurven wissen wir, dass gilt:
Ist f(x) linksgekrümmt, so ist f''>0 für alle x, die im Intervall der Linkskurve liegen.
Ist f(x) rechtsgekrümmt, so ist f''<0 für alle x, die im Intervall der Rechtskurve liegen.
Da die Wendestelle der Punkt zwischen einer Links- und einer Rechtskurve ist, muss dieser demnach zwischen dem Bereich <0 und dem Bereich >0 in der zweiten Ableitung liegen.
Und welcher Punkt tut dies? Genau, der Nullpunkt.
Damit ist das notwendige Kriterium einer Wendestelle:
f''(x)=0.
Nun die hinreichenden Kriterien für Wendestellen. Hier habt ihr die Auswahl zwischen zwei verschiedenen Kriterien.
In der Zeichnung im Video steht ihr, dass bei einer Wendestelle in der zweiten Ableitung neben der Nullstelle auch ein Vorzeichenwechsel auftritt.
Außerdem ist die dritte Ableitung an einer Wendestelle per Definition ungleich 0.
Hinreichende Kriterien sind also
(1) f''(xw)=0 und der Vorzeichenwechsel
(2) f'''(xw)‡0.
