Symmetrie

1. Symmetrie

In einer Kurvendiskussion muss auch die Symmetrie einer Funktion bestimmt werden. Symmetrie bedeutet einen gleichförmigen Verlauf eines Graphen, bei dem ein Teil gespiegelt werden kann, um den anderen zu zeigen.

Um Symmetrien zu verdeutlichen, betrachten wir einmal zwei Graphen. Der orange Graph im Video ist die Normalparabel, g(x)=x^2. Legen wir einen Spiegel an der y-Achse an, so sehen wir, dass der eine Teil des Graphen gespiegelt den anderen ergibt. Weil der Spiegel auf der y-Achse liegt, sprechen wir in diesem Fall von Achsensymmetrie.

Der grüne Graph im Video hat die Gleichung h(x)=x^3. Ihn zu spiegeln, ist nicht so einfach. Eine Spiegelung an der y-Achse funktioniert nicht, deshalb ist diese Funktion nicht achsensymmetrisch.
Stattdessen ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Es liegt also eine Drehung um 180° vor. Um diese einfach darzustellen, skizzieren wir zunächst eine Spiegelung an der y-Achse und spiegeln dies erneut an der x-Achse. Im ersten Quadranten des Koordinatensystems, also oben rechts, sehen wir jetzt eine Spiegelung, die dem normalen Verlauf des Graphen entspricht.

Symmetrie lässt sich aber auch mathematisch nachweisen.
Beginnen wir wieder mit der Normalparabel g(x)=x^2. Wir wählen zwei x-Werte und setzen diese in die Funktionsgleichung ein. Nehmen wir zunächst
g(1)=1^2=1 und
g(-1)=(-1)^2=1
Das Quadrieren hebt das Vorzeichen des jeweiligen x-Wertes auf, sodass für jedes x bzw. -x der gleiche Funktionswert entsteht. Allgemein können wir schreiben:
f(x)=f(-x)

Das gleiche Verfahren wenden wir nun auch für den grünen Graphen an. Die Funktion lautet h(x)=x^3.
h(1)=1^3=1
h(-1)=(-1)^3=-1
Anders als bei der Normalparabel ist der Funktionswert für x nicht der gleiche wie für -x.
Stattdessen gilt:
f(x)=-f(-x)

Zusammengefasst müsst ihr euch für die Symmetrieuntersuchung in der Kurvendiskussion merken, dass ihr auf Achsen- und Punktsymmetrie prüft. Also untersucht ihr, ob f(x) entweder =f(-x) oder =-f(-x) ist. Sollte beides nicht der Fall sein, ist eure Funktion nicht symmetrisch.