Extremstellen berechnen

1. absolute und relative Extremstellen

In diesem Video beschäftigen wir uns mit Extremstellen. Die Extremstellenberechnung ist ein Unterpunkt der Kurvendiskussion.

Extremstellen sind die "extremen" Stellen einer Funktion, also die Punkte auf dem Graph, an denen die Funktion besonders große oder kleine Funktionswerte annimmt.

Außerdem wechselt die Steigung vor und nach einem Extrempunkt. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung der Funktion vorher positiv, im Hochpunkt 0 und nach ihm negativ. Auch in einem Tiefpunkt ist die Steigung 0, davor jedoch fallend, also negativ, und danach positiv.

Wir unterscheiden zwischen relativen und absoluten Hoch- bzw. Tiefpunkten. Der absolute Tiefpunkt einer Funktion ist der Punkt mit dem tiefsten Funktionswert des ganzen Definitionsbereichs. Mathematisch drück man das so aus: f(x)≥xe mit x ∈ D.
Bei relativen Tiefpunkten müssen wir beachten, dass nur für eine bestimmte Umgebung gilt, dass alle anderen möglichen Funktionswerte über dem des relativen Tiefpunkts liegen. Wir schreiben: f(x)≥xe mit x ∈ U.

Bei den absoluten und relativen Hochpunkten ist dies ähnlich. Der absolute Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt mit dem höchsten Funktionswert des ganzen Definitionsbereichs. Mathematisch drück man das so aus: f(x)≤xe mit x ∈ D.
Bei relativen Tiefpunkten gilt dies wieder nur für eine bestimmte Umgebung. Wir schreiben: f(x)≤xe mit x ∈ U.

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2. Wertetabellen

Nachdem in einem anderen Video schon geklärt wurde, was Extremstellen und insbesondere relative und absolute Extremstellen sind, wollen wir nun überprüfen, wie wir Extremstellen mathematisch bestimmen.
Eine Möglichkeit ist, eine Wertetabelle für die Funktion zu erstellen und so gezielte x-Werte zu untersuchen.
Damit ist der tiefste Funktionswert ein Tiefpunkt und der höchste Funktionswert ein Hochpunkt.

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3. Das notwendige Kriterium

Die erste Ableitung einer Funktion zeigt ihre Steigung an. Extremstellen haben gemeinsam, dass die Steigung an dieser Stelle 0 ist; es liegen waagerechte Tangenten vor.
Deshalb ist das notwendige Kriterium für Extremstellen: f(x)=0.

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4. Das Vorzeichenwechselkriterium

Ein hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle ist das Vorzeichenwechselkriterium. Es sagt aus, dass in der ersten Ableitung an der Extremstelle ein Vorzeichenwechsel vorliegt, der Graph also vom positiven in den negativen Bereich wechselt oder umgekehrt.

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5. Das hinreichende Kriterium

Statt des Vorzeichenwechselkriteriums kann man aber auch eine andere Bedingung für Extremstellen als hinreichendes Kriterium benutzen. Für einen Hochpunkt gilt f''(x)<0. Für einen Tiefpunkt gilt f''(x)>0.

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6. Beispiel

Nun wurde die Extremstellenberechnung einmal für das Beispiel f(x)=X^2+2 durchgeführt und der Tiefpunkt E(0/2) errechnet.