absolute & relative Häufigkeit, Mittelwert & Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen

1. Absolute und relative Häufigkeit

Die notierte Trefferanzahl in einem Zufallsexperiment nennt man absolute Häufigkeit.
Diese ist ohne die Berücksichtigung der Versuchsgesamtanzahl noch nicht aussagekräftig. Deshalb gibt es noch den Begriff der relativen Häufigkeit (=abs. Häuf./Versuchsanzahl)

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2. Der Mittelwert

Man hat ein Zufallsexperiment bereits in der Vergangenheit durchgeführt und daraus einen Datensatz erhalten.
Den Mittelwert erhält man, indem man alle Versuchsergebnisse addiert und durch die Gesamversuchsanzahl dividiert.
Alternativ: Die Summe aller Produkte von den verschiedenen Versuchsergebnissen und den rel. Häufigkeiten.

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3. Der Erwartungswert

Man hat ein Zufallsexperiment noch nicht durchgeführt und spekuliert vor Versuchsdurchführung auf die Zukunft. Den Datensatz erhält man nun mithilfe der Wahrscheinlichkeiten.
Den Erwartungswert erhält man, indem man die Summe aller Produkte von den verschiedenen Versuchsergebnissen und den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt.

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4. Allgemeine Formeln von Mittel- und Erwartungswert

Diese Formeln beziehen sich auf beliebige Zufallsexperimente und sind deshalb sehr allgemein gehalten.
Man erkennt zudem auch die Ähnlichkeit in der Struktur der beiden Formeln.

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5. Das Gesetz der großen Zahlen

Wird ein Zufallsexperiment mithilfe von rel. Häufigkeiten ausgewertet, so schwanken diese Werte von kleinen Versuchsanzahlen sehr stark. Wird die Versuchsanzahl immer größer, so pendeln sich die rel. Häuf. auf feste Werte ein, den sog. Wahrscheinlichkeiten. Dies nennt man das Gesetz der großen Zahlen.
Wichtig bei Experimenten, bei denen man die Wahrscheinlichkeiten noch nicht von vornherein kennt wie z.B. bei einem unsym. Würfel oder Münze.

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6. Ein Vergleich von Mittel- und Erwartungswert

Die beiden Formeln für Mittel- und Erwartungswert sind sehr ähnlich (Mittelwert mit rel. Häuf., Erwartungswert mit Wahrsch.).
Wird das Zufallsexperiment sehr häufig durchgeführt, so nähern sich die rel. Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten an, was bedeutet, dass sich auch der Mittewert dem Erwartungswert annähert. Das nennt man auch das Gesetz der großen Zahlen.