Bei einem Polynom 3. Grades (x^3+-...) muss man eine Nullstelle raten oder sie ist bereits angegeben wie in deiner Aufgabe.

Wenn man eine Nullstelle hat, hier x1=1, so muss man das angegebene Polynom x^3 -8x^2+19x-12 durch den Linearfaktor x-x1=x-1 dividieren (der Linearfaktor ist immer "x minus die Nullstelle", d.h. "x und Nullstelle mit umgedrehtem Vorzeichen", z.B. zu der Nullstelle 2 ist der Linearfaktor x-2; ist die Nullstelle -1, so ist der dazugehörige Linearfaktor x+1, d.h. x-(-1)=x+1).

Die Division mit dem Linearfaktor erfolgt mit einer sog. Polynomdivision (funktioniert wie die schriftliche Division mit Zahlen, nur jetzt noch mit "Buchstaben" (d.h. mit der Variablen x).
Ich hoffe, du weißt wie die Polynmdivision geht, ansonsten noch einmal melden.

Die Polynomdivision mit Lösung lautet (x^3 -8x^2+19x-12):(x-1)=x^2-7x+12

Nun hat man ein quadratisches Polynom x^2-7x+12, d.h. der größte Exponent ist 2. Dafür gibt es die sog. p-q-Formel. Man löst also x^2-7x+12=0 mit den weiteren Nullstellen 3 und 4, d.h. x2=3 und x3=4.

Somit hat man alle Nullstellen und kann das Anfangspolynom x^3 -8x^2+19x-12 nun sogar in Linearfaktoren schreiben: x^3 -8x^2+19x-12=(x-1)*(x-3)*(x-4). Das ist manchmal für bestimmte Betrachtungen nützlich...