Mathematische Extremwertaufgabe mit physikalischen Prinzipien!

Am besten eine Skizze anfertigen und mit den in der Aufgabenstellung angegebenen Bezeichnungen beschriften.

(Die Austrittsgeschwindigkeit folgt aus dem Energieerhaltungssatz von potentieller und kinetischer Energie.)

Frage: In Abhängigkeit von der Höhe h ändert sich die Weite s, d.h. wann ist s(h) maximal?

Der Wasserstrahl ist parabelförmig und diese Bewegung lässt sich nach dem Unabhängigkeitsprinzip in zwei unabhängig voneinander ablaufende Teilbewegungen betrachten:

In waagerechter x-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor, in senkrechter y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Bei einer Austrittsgeschwindigkeit v0 benötigt das Wasser die Zeit t0 (habe ich so benannt...)

In senkrechter y-Richtung gilt wegen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

H-h=1/2*g*t0^2  bzw.  t0=Wurzel(2*(H-h)/g)

In waagerechter x-Richtung gilt wegen der gleichförmigen Bewegung:

v0=s/t0  bzw.  s=v0*t0  Dies ist die variable Weite s in Abhängigkeit von der Höhe h!

s(h)=v0*t0

Einsetzen von v0 und t0 und Zusammenfassen ergibt:

s(h)=2*Wurzel(H*h-h^2)  (nachrechnen!)

Ableitung bilden und nullsetzen:

s'(h)=(H-2*h)/Wurzel(H*h-h^2)=0

Also muss der Zähler (H-2*h) = 0 sein, d.h. h=1/2*H.

Das Einsetzen in die 2. Ableitung müsste man noch machen bzw. es ist ja anschaulich klar, dass es sich bei einem möglichen Extremwert um ein Maximum handeln muss.

Antwort: Bei einer Höhe von 1/2*H ist der seitliche Auftreffpunkt s maximal.